Bifurcaciones y Singularidades


La función de Evans I. Lunes 18 de septiembre 11:00 hs.

Joaquin Delgado
El Lunes 18 de Septiembre del 2017
Sala de profesores. AT-324 de 11:00 a 12:00

Resumen:
El 20 de agosto de 2017, falleció John W. Evans. Profesor emérito UCSD. Sus investigaciones incluyen la ecuaciones del axón, intercambio pulmonar entre otros. Su estudio de la estabilidad de ondas viajeras inició lo que hoy se conoce com la teoría de Evans, que marca un puente importante entre la teoría de las ecuaciones diferenciales, el análisis funcional y las EDPs de evolución. En estas dos charlas introducimos los elementos básicos de esta teoría. Operadores de Fredholm, espectro puntual, esencial y la resolvente. La función de Evans que permite caracterizar el espectro puntual, como ceros de una función analítica.


Análisis de un modelo avascular de respuesta inmune a un tumor esférico. 11 de septiembre 11:00 hs.

M.C. Eymard Hernández López
El Lunes 11 de Septiembre del 2017
Sala de profesores AT-324. de 11:00 a 12:00

Resumen:
Las interacciones entre el sistema inmune y células cancerosas son importantes en el desarrollo del crecimiento tumoral. Investigaciones demuestran que el diez por ciento de pacientes quienes tienen enfermedades de inmunodeficiencia pueden desarrollar cáncer. En esta charla se presenta un modelo determinista depredador-presa que describe la dinámica de un tumor sólido en presencia de una población de linfocitos.


M.C Alexandra Guzman Velazque
El Lunes 17 de Julio del 2017
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
Revisar la dinámica de las ecuaciones de FitzHugh-Nagumo, primero bajo la premisa de fijación de voltaje, es decir, cuando las variables de estado del sistema dependen sólo de la variable temporal. En este caso, se modifican los valores de los parámetros y específicamente de la corriente aplicada para mostrar -desde la matemática- las propiedades de un medio excitable. Una vez visto esto, se expondrá el modelo espacio-temporal que consiste de dos ecuaciones diferenciales parciales, una para el potencial y otra para la variable de recuperación. Sin embargo, para probar la existencia de soluciones del tipo onda viajera, el modelo inicial se transforma en un sistema autónomo de tres ecuaciones diferenciales ordinarias y se encuentra que la trayectoria del sistema consistente con la propagación del impulso es homoclínica.


La Bifurcación de Takens-Bogdanov degenerada. Lunes 3 de julio, 10:00 hs

Dra. Lucía Ivonne Hernández
El Lunes 03 de Julio del 2017
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
La bifurcación TBD de codimensión 3 ha sido estudiada con detalle por diversos autores como Kuznetsov, Bazykin, Dumortier, entre otros. En esta sesión presentaremos algunos de las formas normales estudiadas por tales autores, asociadas a ciertos casos donde esta bifurcación tiene lugar; así como algunos ejemplos de EDOs donde esta bifurcación ocurre.


Estabilidad de ondas viajeras. Lunes 26 de junio 10:00-11:00 hs.

Joaquín Delgado
El Lunes 26 de Junio del 2017
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
El estudio de la estabilidad de ondas viajeras (pulsos, frentes) en una EDP $u_t=Lu+N(u)$ comienza por determinar el espectro de la linealización $L$ alrededor de la solución. En muchos casos de interés $L$ es un operador de Fredholm. En tal caso conviene separar el espectro en el espectro esencial, absoluto y puntual. El espectro esencial se determina por los operadores asintóticos de coeficientes constantes cuando $\xi\to\pm\infty$; el espectro puntual se determina por los ceros de una función analítica, la función de Evans. El espectro absoluto, define una región natural, donde la función de Evans se puede extender analíticamente, lo cual en ciertos casos debe hacerse. En el caso de ecuaciones escalares, la teoría de Sturm-Liouville en dominios no acotados permite, en algunos casos, determinar raíces positivas que impliquen inestabilidad espectral. Veremos alguna ejemplos de ecuaciones de reacción difusión, donde la onda viajera se conoce explícitamente.


Bifurcaciones en el problema de masas fluidas en rotación. Lunes 19 de junio, 10:00-11:00 hs

Dr. Adolfo Escalona Buendía
El Lunes 19 de Junio del 2017
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
Se presenta un análisis de las soluciones más conocidas del problema de masas fluidas incompresibles en rotación en equilibrio hidrostático, desde el punto de vista de la teoría de bifurcaciones. Cada una de estas soluciones: esferoides, elipsoides y "formas de pera", es invariante bajo un grupo de simetría, el cual es un subgrupo del grupo de simetrías de la solución de la cual bifurca. Se analiza la posibilidad de encontrar nuevas soluciones con base en el estudio de los grupos de simetría de los armónicos elipsoidales, para el caso particular de los elipsoides de revolución.


Estabilidad de ondas viajeras y la función de Evans

Joaquín Delgado
El Lunes 12 de Junio del 2017
Salón de Seminarios AT-318. Lunes 12 de junio. 10:00-11:00 hs. de 10:00 a 11:00

Resumen:
La exposición está dividida en dos partes. En la primera veremos que el estudio de la estabilidad (veremos en qué sentido) de ondas viajeras (pulsos, frentes) en una EDP $u_t=Lu+N(u)$ comienza por determinar el espectro de la linealización $L$ alrededor de la solución. En muchos casos de interés $L$ es un operador de Fredholm. En tal caso conviene separar el espectro en el espectro esencial, absoluto y puntual. El espectro esencial se determina por los operadores asintóticos de coeficientes constantes cuando $\xi\to\pm\infty$; el espectro puntual se determina por los ceros de una función analítica, la función de Evans. El espectro absoluto, define una región natural, donde la función de Evans se puede extender analíticamente, lo cual en ciertos casos debe hacerse. En el caso de ecuaciones escalares, la teoría de Sturm-Liouville en dominios no acotados permite, en algunos casos, determinar raíces positivas que impliquen inestabilidad espectral. Veremos alguna ejemplos de ecuaciones de reacción difusión, donde la onda viajera se conoce explícitamente. En la segunda parte mostraremos que en el caso de ecuaciones de reacción-difusión, la linealización define, bajo ciertas hipótesis, un operador sectorial, lo cual permite probar que la estabilidad espectral implica la estabilidad no lineal. Otros casos importantes son cuando la EDP define un semigrupo continuo a un parámetro y se satisfacen ciertas estimaciones de la resolvente. En el caso de tráfico vehicular. Se sabe que existen familias de onda viajeras en forma de pulsos (homoclínicas), el reto es calcular numéricamente la función de Evans paralelamente a la resolución de la homoclínica que define el pulso. Mostraremos los avances en este problema


Simetrías y bifurcaciones en un problema de convección de Rayleigh-Bénard (Parte II)

Javier Pérez López
El Lunes 05 de Junio del 2017
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
En el análisis de estados estacionarios de algunos problemas de EDPs con simetrías es posible obtener información del inicio de convección con una ecuación de una sola variable, tal como el caso que aquí presentamos. Utilizamos la teoría de bifurcación equivariante en un problema de convección de Rayleigh-Bénard en recipientes paralelepédicos de base cuadrada, resultados numéricos sugieren que el inicio de bifurcación es del tipo pitchfork, en esta charla damos una justificación analítica de este comportamiento usando las simetrías del problema.


Simetrías y bifurcaciones en un problema de convección de Rayleigh-Bénard

Javier Pérez López
El Lunes 29 de Mayo del 2017
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
En el análisis de estados estacionarios de algunos problemas de EDPs con simetrías es posible obtener información del inicio de convección con una ecuación de una sola variable, tal como el caso que aquí presentamos. Utilizamos la teoría de bifurcación equivariante en un problema de convección de Rayleigh-Bénard en recipientes paralelepédicos de base cuadrada, resultados numéricos sugieren que el inicio de bifurcación es del tipo pitchfork, en esta charla damos una justificación analítica de este comportamiento usando las simetrías del problema.


Aplicación de sistemas dinámicos al tráfico vehicular

Dra. Patricia Saavedra
El Lunes 22 de Mayo del 2017
Salón de Seminarios AT-318. de 10:00 a 11:00

Resumen:
En esta plática se presentan resultados sobre la existencia de soluciones tipo onda viajera en las ecuaciones de Kerner-Kornhäuser con condiciones de frontera periódicas. Este es un modelo macroscópico de segundo orden que se obtiene al hacer una analogía entre el tráfico vehicular y el flujo de un fluido viscoso compresible. La formulación matemática consiste de dos ecuaciones en derivadas parciales no lineales acopladas. Hasta ahora no se han obtenido soluciones analíticas. Sin embargo, resultados numéricos muestran la existencia de soluciones tipo onda viajera. Al aplicar el cambio de variable \(\xi = x+ V_g t \), el problema se reduce a resolver un sistema de EDO. El enfoque de sistemas dinámicos, nos pemite probar la existencia de puntos de bifurcación tipo Hopf, Takens-Bogdanov y Takens-Bogdanov degenerado que aseguran la existencia en una vecindad de estos puntos de ciclos límite, de órbitas homoclínicas y heteroclínicas. Bajo ciertas condiciones de conmensurabilidad, estos resultados nos aseguran la existencia de soluciones tipo onda viajera tanto en dominios acotados con condiciones de frontera periódicas como en dominios no acotados con condiciones de frontera acotadas en la EDP. Por último, se mencionarán alguna dificultades.


Bifurcaciones de equilibrios relativos Lagrangianos. Lunes 8 de mayo, AT-318

Dr. Antonio Hernández Garduño
El Lunes 08 de Mayo del 2017
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
Discutiremos la existencia y bifurcación de equilibrios relativos lagrangianos (es decir, no-colineales) que aparecen en una generalización del problema de tres cuerpos. Se asume que uno de ellos es un esferoide tal que su plano ecuatorial coincide con el plano de los tres centros de masa. Describiremos la bifurcación de equilibrios relativos, así como su número y tipo (forma), cuando se varían el parámetro de oblaticidad $J_2$ y la velocidad angular del sistema.


La bifurcación Takens-Bogdanov degenerada. 8:30 hs. sala de profs.

Daniel Espinosa Pérez
El Lunes 27 de Marzo del 2017
Sala de profesores. Departamento de Matemáticas. de 08:30 a 09:30

Resumen:
Se presentan dos modelos de dinámica de poblaciones con dos especies y hasta tres parámetros. En el primero la curva de Hopf presenta una singularidad de cúspide en el punto de intersección de la curva regular de sillas-nodo. En el segundo la curva de sillas nodo presenta una cúspide en el punto de intersección de la curva regular de Hopf. En ambos casos Bazykin conjeturó la existencia de una bifurcación de Hopf degenerada (DTB). En el primero, Kuznetsov, dió una prueba rigurosa calculando la forma normal. El segundo es un problema abierto. Estos ejemplos motivan la conjetura de que la bifurcación DTB aparece genéricamente en sistemas de tres parámetros cuando la proyección de la superficie de puntos de equilibrio sobre un espacio de dos parámetros sufre una catástrofe elemental de tipo cúspide.


Inestabilidad de Turing en el modelo de Gray-Scott. Lunes 6 de marzo 8:30 hs.

Javier Pérez López
El Lunes 06 de Marzo del 2017
Sala de profesores. Departamento de Matemáticas de 08:30 a 09:30

Resumen:
Un punto de equilibrio estable en una EDO puede hacerse inestable ante la presencia de difusión en un sistema de EDPs. Presentamos este mecanismo de inestabilidad debido a Turing en un sistema general de 2 EDPs y en particular las curvas de inestabilidad de Turing en el modelo de Gray-Scott. \begin{eqnarray*} u_t &=& D_1\nabla^2 u - u^2 v +F(1-u),\\ v_t &=& D_2\nabla^2 v + u^2-(F+k) v \end{eqnarray*}


El método de reducción de Lyapunov-Schmidt-I. Lunes 13 de febrero 8:30-9:30 hs.

Dra. Lucia Ivonne Hernández. UACM Plantel Sn. Lorenzo Tezonco
El Lunes 13 de Febrero del 2017
Sala de preofesores. Departamento de Matemáticas. UAM-Iztapalapa de 08:30 a 09:30

Resumen:
La reducción de Lyapunov-Schmid se utiliza para estudiar problemas de bifurcación no lineales en espacios de Banach generales, mediante su reducción a dimensión finita. La hipótesis princial es que la linealización sea un operador de Fredholm de índice 0. Presentamos la teoría básica y las ecuaciones que permiten calcular las derivadas parciales necesarias para determinar el tipo de bifurcación. En la siguiente sesión presentaremos un ejemplo de aplicación a la birfurcación de Turing del sistema de Gray-Scott.


El mapeo de energía-momento I. Lunes 30 ene. 8:30-9:30 hs.

Dr. Antonio Hernández Garduño
El Lunes 30 de Enero del 2017
Sala de profesores de 08:30 a 09:30

Resumen:
El mapeo de momento se construye como una aplicación J:P -> Lie(G), donde G es un grupo de Lie que actúa por simplectomorfismos en la variedad simpléctica P.La estabilidad de equilibrios relativos se puede estudiar mediante la segunda variación del mapeo de momento. La diagonalización por bloques es una técnica que permite la descomposición del Hessiano según las variaciones tangentes a las órbitas del grupo y a un complemento ortogonal.


Seminario de bifurcaciones. 8:30-9:30 hs. enero 23

varios
El Lunes 23 de Enero del 2017
Sala de profesores. de 08:30 a 09:30

Resumen:
Temario tentativo del seminario bifurcaciones. Trimestre 2017-I. 23 de enero Reunión para organizar temas y expositores. 30 de enero Función energía--momento I. Antonio Hernández 6 de febrero Función energía--momento II. Antonio Hernández 13 de febrero Reducción de Lyapunov-Schmidt I. Ivonne Hernández 20 de febrero Reducción de Lyapunov-Schmidt II. Ivonne Hernández 27 de febrero Teoría de bifurcación equivariante I. Joaquín Delgado 6 de marzo Teoría de bifurcación equivariante II. Joaquín Delgado 13 de marzo Preliminares de Teoría de grupos I. 20 de marzo Preliminares de Teoría de grupos II. 27 de marzo 3 de abril 10 de abril Al término del trimestre tendremos un minicoloquio donde se expondrán los avances de investigación de cada participante del seminario. Fecha por establecer. Referencia Golubistsky,Martin; Stewart,Ian;Schaeffer,David. Singularities and groups in Bifurcation Theory, Vol. II, capíatulos XI, XII,XIII.


Sobre un problema restringido de cuatro cuerpos. Miércoles 30 de nov. 9:30-10:30 hs.

Dr.Jaime Burgos. ITAM.
El Miércoles 30 de Noviembre del 2016
Sala de profesores. Departamento de Matemáticas. de 09:30 a 10:30

Resumen:
El célebre problema de tres cuerpos ha encontrado aplicaciones prácticas a través de algunas de sus versiones restringidas como el considerar un cuerpo lo bastante pequeño de tal manera que no influya en la dinámica de los otros dos cuerpos llamados primarios. Dichos primarios se mueven en soluciones del problema de Kepler y problema radica en estudiar la dinámica del cuerpo pequeño. Una extensión de este enfoque consiste en considerar soluciones conocidas del problema general de tres cuerpos mas una pequeña masa interactuando con este sistema; estos problemas son conocidos como problemas restringidos de cuatro cuerpos. En esta charla presentaré de manera general el problema que estudia la dinámica de una pequeña masa que interactúa con un sistema en configuración equilátera y comentaré sobre sus aplicaciones en el sistema solar.


El método de reducción de Lyapunov-Schmidt. Mie 23, 9:30 hs.

Joaquin Delgado
El Miércoles 23 de Noviembre del 2016
Sala de profesores. Departamento de Matematicas. de 09:30 a 10:30

Resumen:
El método de reducción de Lyapunov-Schmidt permite reducir un problema de bifurcación en dimensión infinita a un problema en dimensión finita, cuando la parte lineal es un operador de Fredholm de índice 0. Presentaremos la construcción de esta reducción, las ecuaciones para el cálculo de las derivadas de bajo orden que permitan determinar la forma normal. Como ejemplo, presentaremos una ecuación de reacción-difusión en una variable y el sistema del Brusselator.


Masas fluidas en rotación. Historia y métodos. Miercoles 9 de noviembre.

Joaquín Delgado
El Miércoles 09 de Noviembre del 2016
Sala de profesores. de 09:30 a 10:30

Resumen:
El problema de masas fluidas en rotación fué planteado originalmente por Newton: "To find the proportion of axis of a planet to thediameters perpendicular thereto"rop XIX, Prob. III. Principia Vol. II. The system of the world. En esta platica expondremos la teoría de los canales de Newton para probar la existencia de formas de esferoide oblato de una masa fluida en rotación sujeta a su propia atracción gravitacional y la fuerza centrífuga. La misma idea permite probar la existencia de formas elipsoidales con tres ejes distintos debida Jacobi. El problema principal consiste en tener una expresión analítica para el potencial de una masa esferoidal y en general para cualquier posible forma de equilibrio. La estabilidad de la forma esférica sin rotación ante perturbaciones arbitrarias fué probada por Lyapunov en su tesis de maestría. La forma esferoidal bifurca a la forma elipsoidal de Jacobi a través de una bifurcación de trinche y posteriormente las formas elipsoidales bifurcan a formas en forma de pera, cuya estabilidad fué estudiada por Poincaré, Lamé, Darwin, entre otros. El problema de las formas de equilibrio en forma toroidal con un núcleo central tiene cierto interés cosmológico en la relatividad general. En la aproximación clásica el problema consiste en estudiar las posibles formas de equilibrio toroidales y su estabilidad. La estabiliad de una posible forma de equilibrio lleva al estudio de análisis armónico (esférico, elipsoidal, toroidal,...). La versión moderna de estas técnicas clásicas es una combinación del método de reducción de Lyapunov-Schmidt, que aplica a problemas de bifuración variacionales definidos por operadores de Fredholm, y el método de descomposición de la función momento de Marsden-Lewis-Simó.


Masas fluidas en rotación. Miercoles 18 de octubre 9:30-10:30 hs.

Dr. Adolfo H. Buendía
El Miércoles 19 de Octubre del 2016
Sala de Profesores. Departamento de Matemáticas. de 09:30 a 10:30

Resumen:
El estudio de la simetría ha sido fundamental en el descubrimiento de las leyes de la naturaleza y sus aplicaciones. Sin embargo, durante su evolución, un sistema dinámico puede pasar de un estado simétrico a un estado menos simétrico, por ejemplo en una transición de fase; en estos casos, la simetría se rompe espontáneamente. Un ejemplo se presenta en la teoría de de masas fluidas auto-gravitantes en rotación, la cual se desarrolló en el contexto de preguntas concernientes a la forma de la Tierra y demás cuerpos celestes. ​En su disertación acerca de la forma de la Tierra en sus Principia Mathematica, Newton demostró que, por efecto de la rotación de la Tierra, ésta debería apartarse de la forma esférica y ser ligeramente oblata. Posteriormente MacLaurin generalizó los resultados de Newton para el caso en el que la desviación de la forma esférica ya no puede considerarse pequeña. Casi un siglo después, C.G.J. Jacobi demostró que, a partir de ciertos valores del momento angular, pueden existir figuras que rompen la simetría axial de los elipsoides de revolución; por ejemplo, elipsoides con tres semiejes desiguales. B. Riemman y R. Dedekind, y posteriormente H. Poincaré encontraron que, para valores aun más altos del momento angular, aparecen nuevas soluciones --con forma de pera-- la cuales rompen con los planos de simetría de los elipsoides de Jacobi. Una recapitulación de la historia de este problema, en un lenguaje matemático moderno, fue escrita por Chandrasekhar en su tratado titulado Ellipsoidal Figures of Equilibrium que es considerado un clásico en el campo de la astrofísica


Digrama global de bifurcación del sistema de EDO asociado al modelo de reacción difusión de Gray-Scott (Mie. 9:30-10:30, AT-318)

Lucía Ivonne Hernández
El Miércoles 05 de Octubre del 2016
AT-318 de 09:30 a 10:30

Resumen:
Una reacción química irreversible entre dos compuestos es modeladaa por el sistema de reacción-difusión de Gray-Scott. Daremos una breve descripción global del diagrama de bifurcación del estado estacionario homogéneo asociado al sistema de EDPs, destacando algunas bifurcaciones especiales que existen para ciertos valores de los parámetros.


Ondas en espiral en el corazón. Jueves 14de julio, 9:30-10:30 hs.

M.C. Alexandra Guzmán
El Jueves 14 de Julio del 2016
Salón de Seminarios AT-318. de 08:30 a 09:30

Resumen:
Presentamos el modelo de EDO de Hodkin-Huxley del membrana celular. Se introducen los conceptos de: potencial de acción, umbral y periodo refractario. Bajo la simplificación en el modelo de variables de compuerta se obtiene el la ecuación de reacción-difusión de Fitzhugh-Nagumo. En el modelo simplificado de Winfree, se propone una onda viajera en una circunferencia que se extiende a un dominio anular dando origen a ondas en espiral, las cuales se han usado para modelar la transmisión de impulsos eléctrico en el tejido del corazón.


Acerca de la ecuación de Gray-Scott

Joaquín Delgado
El Jueves 03 de Marzo del 2016
Salón de Semiarios AT 318 de 08:30 a 09:30

Resumen:


Simetrías y bifurcaciones en un problema de convección de Rayleigh-Bénard (Parte II)

Javier Pérez López
El Miércoles 30 de Noviembre del -0001
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
En el análisis de estados estacionarios de algunos problemas de EDPs con simetrías es posible obtener información del inicio de convección con una ecuación de una sola variable, tal como el caso que aquí presentamos. Utilizamos la teoría de bifurcación equivariante en un problema de convección de Rayleigh-Bénard en recipientes paralelepédicos de base cuadrada, resultados numéricos sugieren que el inicio de bifurcación es del tipo pitchfork, en esta charla damos una justificación analítica de este comportamiento usando las simetrías del problema.


Simetrías y bifurcaciones en un problema de convección de Rayleigh-Bénard (Parte II)

Javier Pérez López
El Miércoles 30 de Noviembre del -0001
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
En el análisis de estados estacionarios de algunos problemas de EDPs con simetrías es posible obtener información del inicio de convección con una ecuación de una sola variable, tal como el caso que aquí presentamos. Utilizamos la teoría de bifurcación equivariante en un problema de convección de Rayleigh-Bénard en recipientes paralelepédicos de base cuadrada, resultados numéricos sugieren que el inicio de bifurcación es del tipo pitchfork, en esta charla damos una justificación analítica de este comportamiento usando las simetrías del problema.


Simetrías y bifurcaciones en un problema de convección de Rayleigh-Bénard (Parte II)

Javier Pérez López
El Miércoles 30 de Noviembre del -0001
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
En el análisis de estados estacionarios de algunos problemas de EDPs con simetrías es posible obtener información del inicio de convección con una ecuación de una sola variable, tal como el caso que aquí presentamos. Utilizamos la teoría de bifurcación equivariante en un problema de convección de Rayleigh-Bénard en recipientes paralelepédicos de base cuadrada, resultados numéricos sugieren que el inicio de bifurcación es del tipo pitchfork, en esta charla damos una justificación analítica de este comportamiento usando las simetrías del problema.