Bifurcaciones y Singularidades


Termodinámica en modelos reacción difusión irreversibles (Parte II) Lunes 26 de abril, 9:30

Dr. Aldo Ledesma Durán
El Lunes 26 de Abril del 2021
http://meet.google.com/pob-fxgk-sdf de 09:30 a 10:30

Resumen:
En esta plática estudiamos sistemas autónomos de ecuaciones de difusión de reacción para mostrar cómo la entropía y la energía libre de un reactor en funcionamiento abierto e irreversible dependen de las concentraciones. Esto se hace mediante la búsqueda de una función de Lyapunov que depende directamente de los autovalores y autovectores del problema linealizado para sistemas linealmente estables. Usamos simulaciones numéricas para probar los resultados de este documento y discutir cómo se pueden entender en términos de viabilidad y solidez de las soluciones. Se esboza también el caso no lineal donde se enfatiza la aplicación para estructuras disipativas.


La bifurcación pseudo-Hopf en sistemas de Filippov en (R^3).

José Manuel Islas
El Lunes 18 de Enero del 2021
Departamento de Matemáticas UAM-Iztapalapa de 11:00 a 12:30

Resumen:
En este trabajo se considera una familia no genérica de sistemas Filippov en tres dimensiones con un plano de conmutación en el cual tiene dos rectas de tangencia paralelas, tales que la región limitada por ellas es la región de deslizamiento. Estamos interesados en hallar bajo quñe condiciones en dicha familia se crean o se destruyen ciclos límite de cruce cuando la región de deslizamiento cambia su estabilidad. Este fenómeno es llamado bifurcación pseudo-Hopf y está motivado principamente por sistemas de control lineales por pedazo, los cuales, aún no han sido estudiados en el contexto de búsqueda de ciclos límite de cruce.


Bifurcaciones de estado estacionario de la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky

M. en C. Javier Pérez
El Lunes 18 de Mayo del 2020
Zoom de 11:00 a 12:30

Resumen:
En esta presentación mostramos el diagrama de las primeras bifurcaciones de estado estacionario de la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky (KS) en una variable. Este trabajo tiene como finalidad reproducir las bifurcaciones secundarias de ondas rotatorias reportadas en trabajos previos [1], [2] y [3]. Los elementos a tomar en cuenta son: la discretización del problema usando el método de Galerkin y el uso de la teoría de bifurcación equivariante. Referencias [1] I. G. Kevrekidis, B. Nicolaenko and J.C. Scovel. Back in the saddle again: A computer study of the Kuramoto-Sivashinsky equation. Siam J. Appl. Math. V. 50, No. 3, pp. 760-790, 1990. [2] P. J. Aston, A. Spence and W. Wu. Bifurcation to rotating waves in equations with O(2)-symmetry. SIAM J. Appl. Math. V. 52, No. 3, pp. 792-809, 1992. [3] C. Li, Z. Yang and G. Chen. On bifurcation from steady-state solutions to rotating waves in the Kuramoto-Sivashinsky equation. J. Shanghai University. V. 9, No. 4, pp. 286-291, 2005.


Modelo de especiación con ruptura de simetría

M. en C. Alexandra Guzmán
El Lunes 24 de Febrero del 2020
Salón de Seminarios AT-318 de 09:30 a 11:00

Resumen:
Con este modelo matemático de especiación, que describe la evolución de tres grupos de fenotipos inicialmente idénticos, se explica lo que significa un sistema dinámico simétrico de ODEs y las simetrías de sus soluciones, que en este caso no lineal, no necesitan ser las mismas que las simetrías del sistema original. De ahí la aparición de una ruptura de simetría, mecanismo fundamental en la aparición de patrones, a partir de la bifurcación de un parámetro que describe las condiciones del ambiente, característica o rasgo observable de un organismo


Singularidad en las coordenadas de Piña y Jiménez-Lara para el Problema de tres cuerpos. Caso de dos masas iguales

Dr. Adolfo Escalona Buendía
El Lunes 17 de Febrero del 2020
Salón de Seminarios AT-318. Departamento de Matemáticas. de 09:30 a 11:00

Resumen:
Se presenta un cambio de variable para el sistema de coordenadas propuesto por E. Piña para el Problema de Tres Cuerpos en el caso de que dos de las masas iguales. En estas coordenadas, se presenta una singularidad cuando los momentos de inercia del triángulo descrito por los tres cuerpos son iguales, lo cual imposibilita estudiar numéricamente soluciones que pasan en la vecindad de este punto. El cambio de variable propuesto desacopla los momentos canónicos asociados a las variables angulares en el hamiltoniano y las ecuaciones de movimiento, lo cual permite remover la singularidad.


Modelación matemática de la actividad eléctrica del corazón.

Minerva Márquez Castillo
El Lunes 10 de Febrero del 2020
Salón de Seminarios AT-346 de 09:30 a 11:00

Resumen:
En está platica se presentan varios modelos de la actividad eléctrica del corazón con el fin de simular la señal del ECG en posiciones bien definidas llamadas derivaciones: El modelo de volumen conductor, el modelo bidominio. En vectorcardiografía: La actividad eléctrica del corazón se modela por un único dipolo y el modelo de Sameni que propone un sistema de EDO para la trayectoria del dipolo en un medio infinito y con ello obtiene señales sintéticas de las 12 derivaciones clásicas. Y se modelaron dos situaciones de conducción eléctrica anómala: la isquemia y la desfibrilación.


Bifurcaciones en un modelo mínimo de respuesta inmune con termino de vascularizacion.

M. en C. Eymard Hernández
El Lunes 27 de Enero del 2020
Salón de Seminarios AT-346 de 09:30 a 11:00

Resumen:
Se presenta el modelo vascularizado estudiado por Dan Liu (2009), dónde dan condiciones para la existencia de Bifurcaciones Takens-Bogdanov no degeneradas, pero no dan explícitamente alguna de ellas. En esta charla expondremos casos específicos y presentaremos una prueba de proyección para determinar que en efecto es no degenerada. Además se presentan las curvas de bifurcación Sillas-nodo y Hopf para un nivel de saturación del sistema (x_{c} ) en la región de puntos críticos.


Diagrama de bifurcación del modelo de población de Bazykin a tres parámetros

Dra. Lucía Ivonne Hernández Martínez
El Lunes 20 de Enero del 2020
Salon de Seminarios AT-346 Departamento de Matemáticas de 09:30 a 11:00

Resumen:
En esta plática presentaremos los diagramas de bifurcación que conjeturó Bazyikin para su modelo de población a tres parámetros y daremos la descripción analítica de algunas curvas que se observan en los diagramas para ciertos valores de los parámetros como la curva de Bautin.


Notes on the existence of weak solutions of the Boussinesq equations in a parallelepipedic domain

M.C. Javier Pérez López
El Lunes 13 de Enero del 2020
Salon de Seminarios AT-346 Departamento de Matemáticas de 09:30 a 11:00

Resumen:
In this talk we show minimal requirements to guarantee weak solution in the Boussinesq equations with boundary conditions. We choose adequate spaces where the solution lives and identify restrictions. We follow the Morimoto [1989] procedure. Boussinesq equations are as stated by Davis and Segel [1968] We use these equations to model the onset of convection of fluid confined in parallelepipedic containers. References Morimoto, H. (1989). On the existence of weak solutions of equations of natural convection. Journal of the Faculty of Science, the University of Tokyo. Sect. 1A, Math. 36, pp. 87-102 . S. H. Davis and L. A. Segel (1968). Effects of surface curvature and property variation on cellular convection. The Physics of fluids 3, pp. 470-476 .


On the paper of M.I. Gil: On uniqueness and stability of stationary currents of viscous incompressible fluid

Dr. Joaquín Delgado
El Lunes 06 de Enero del 2020
Salon de Seminarios AT-346 Departamento de Matemáticas de 09:30 a 11:00

Resumen:
We review the main ideas of the paper of M.I.Gil., especially the role of the first eigenvalue of the Laplacian in the results of uniqueness and stability of the trivial solution.


Título: Dinámica estocástica entre el sistema inmunológico y células cancerígenas

M.C. Eymard Hernández
El Lunes 04 de Febrero del 2019
Sala de profesores. AT-346 de 09:00 a 10:00

Resumen:
En esta charla se abordan un par de modelos matemáticos muy estudiados (Delisi-Resigno y Kirschner-Panetta) que describen la dinámica del sistema inmunológico y células cancerígenas. Debido a que en el caso determinista se ignoran factores estocásticos que podrían ser importantes, el sistema determinista es transformado en uno equivalente de tipo cadena de Markov, donde el espacio de estados es discreto mientras el tiempo es continuo, con el objetivo de explorar la dinámica estocástica en cáncer. Por último, se caracterizan las fases de eliminación, equilibrio y escape de acuerdo a la teoría de inmuno-edición para cada sistema.


Cálculo analítico y numérico de la función de Evans

Dra. Patricia Saavedra Barrera
El Lunes 23 de Julio del 2018
Sala de Profesores AT-348 de 10:00 a 11:00

Resumen:
Para probar estabilidad espectral de ondas viajeras se debe determinar el espectro puntual y esencial de un operador de la forma $T_{\lambda}(u) = \frac{d\vec{u}}{d\xi}-A(\xi,\lambda)\vec{u}$ en el que $\xi = x − s t$ es el cambio de coordenadas usual que se aplica alas EDP con soluciones en forma de onda viajera. La función de Evans es una generalización del polinomio caracterÍstico para determinar el espectro puntual del operador $T_{\lambda}$ Los ceros de la función de Evans corresponden a valores propios del operador. Si la función de Evans no tienen ceros con parte real positiva y el espectro esencial se encuentra a la izquierda del plano complejo, se concluye que el operador es espectralmente estable. La función de Evans se puede calcular en forma analítica por medio del método de Kato, del método de coordenadas polares o el de la matriz compuesta, siempre que se cuente con la solución analítica de la onda viajera. Son pocos los operadores para los cuales se puede calcular analíticamente la función de Evans. Entre estos, el operador asociado a la ecuación de Burgers o el de Korteweg de Vries. Se ilustrará con la ecuación de Burgers el cálculo analítico de la función de Evans. Se presentará también un algoritmo numérico para el caso de no contar con una solución analítica de la onda viajera como en el caso del tráfico vehicular.


Un vistazo al método de Taylor con diferenciación automática

Dr. Jaime Burgos García (UAdeC)
El Lunes 16 de Julio del 2018
Sala de profesores. AT-346 de 09:30 a 11:00

Resumen:
En cursos introductorios de análisis numérico es típico introducir y utilizar el llamado método de Taylor como una de las primeras herramientas para resolver numéricamente una ecuación diferencial ordinaria ya que es, en principio, fácil de entender. Sin embargo, es bien sabido que algunos de sus principales defectos son el cálculo las derivadas del campo vectorial mas la composición de series de potencia lo cual puede resultar nada útil desde un punto de vista práctico. En esta charla abordaremos de manera introductoria algunas técnicas que permiten enfrentar y solucionar éstas dificultades de tal manera que sea computacionalmente eficiente implementar el método de Taylor a cualquier orden, esto puede permitir realizar cálculos de gran precisión usando “grandes” tamaños de paso lo cual se traduce en un ahorro de tiempo de ejecución del integrador en cuestión.


Problema de Tres Cuerpos en Nuevas Coordenadas

Dr. Adolfo Escalona Buendía
El Lunes 09 de Julio del 2018
Sala de Profesores AT-348 de 09:30 a 11:00

Resumen:
Se presenta la reformulación del Problema tres cuerpos en términos de las coordenadas propuestas por E. Piña y L. Jiménez Lara, restringidas al caso bidimensional, en las cuales el sistema se modela a partir de las rotaciones y deformaciones del triángulo descrito por los tres cuerpos. A diferencia de otros autores, como G. W. Hill o C. G. J. Jacobi, que modelan el sistema como una perturbación del problema de Kepler, la nuevas coordenadas modelan en el caso general, sin hacer suposiciones a-priori acerca de las masas de los tres cuerpos o de sus distancias. Por otro lado, estas coordenadas hacen explícitas las muchas simetrías que el sistema presenta. Se mostrará la parametrización para el caso de dos masas iguales, la cual tiene como caso particular el caso de tres masas iguales, de manera que incluye la solución en forma de ocho de A. Chenciner y R. Montgomery.


Método variacional para estimar campos de velocidad que conservan masa y su aplicación al cálculo de trayectorias y modelos de transporte atmosférico

M. en C. Rocío Mendoza Flores
El Lunes 02 de Julio del 2018
Sala de profesores. AT-346 de 09:30 a 11:00

Resumen:
Los modelos de trayectorias de partículas de flujos atmosféricos se usan para cálculos de transporte, difusión y dispersión de sustancias en la atmósfera. Estos modelos se obtienen integrando el campo de velocidad del viento estimado por interpolación de un conjunto de datos. Sin embargo, los campos interpolados, en general, no satisfacen la ecuación de continuidad. En esta plática se presentan resultados que demuestran que una perturbación en el balance de masa puede generar un campo con una estructura substancialmente diferente los cuales muestran la importancia del balance de masa de un campo de velocidad del viento en modelos de transporte atmosférico. Se propone un método variacional para generar un campo de velocidad bidimensional que satisfaga el balance de masa. Con ejemplos analíticos se muestra que el método permite recuperar la estructura de un campo que conserva la masa a partir de un campo que no la satisface, también permite corregir los errores generados por una perturbación dependiente del tiempo. Se presenta una formulación variacional para estimar campos tridimensionales consistentes con la masa. Esta formulación usa una coordenada vertical que sigue al terreno y que definimos usando a la presión como coordenada vertical. Se demuestra que la formulación conduce a un problema elíptico separable que puede resolverse usando series de Fourier trigonométricas.


Simulación estocástica de sistemas de EDO usando el método de Gillespie

M.C. Eymard Hernández
El Lunes 25 de Junio del 2018
Sala de profesores. AT-346 de 09:30 a 11:00

Resumen:
Por medio de modelos matemáticos se pretende describir el comportamiento principal de ciertos fenómenos. A menudo es difícil sintetizar las múltiples variables que intervienen en estos comportamientos, por tal motivo se prefiere el uso de modelos mínimos de interacción. La dinámica de muchos fenómenos reales esta gobernada por componentes aleatorias no predecibles, o bien sistemas estocásticos. De tal manera que al modelar fenómenos estocásticos con modelos deterministas, no se puede describir con precisión las interacciones en estos sistemas. En esta charla se presenta un método para simular algunos modelos deterministas basado en argumentos teóricos de la cinética química. El método fue propuesto por Daniel Gillespie en 1976 y un año después presenta el algoritmo que lleva su nombre. 


Bifurcación de Bautin en un modelo mínimo de vigilancia inmune

Dra. Lucía Ivonne Hernández
El Lunes 18 de Junio del 2018
Sala de profesores. AT-346 de 09:30 a 11:00

Resumen:
Vamos a presentar un resumen del trabajo que lleva éste título, sobre un modelo de cáncer y linfocitos propuesto por Delisi y Resigno. Presentamos detalles del cálculo del primer coeficiente de Lyapunov $\ell_1$ y una de las consecuencias del modelo: el teorema umbral que afirma que si la población inicial de células cancerosas $y_0$ es menor que un valor crítico $y_c$ entonces existe una población inicial de linfocitos $x_0=h^{-1}(y_0)$ tal que el número de células cancerosas se hace cero en tiempo finito. La curva umbral $y=h(x)$ es la variedad estable del único punto crítico para valores adecuados de los parámetros. Presentamos también la dinámica de generación de ciclos límite como función de uno de los parámetros y la consecuencia de la coexistencia de dos ciclos límite.


Método de campo de Fase para EDPs de reacción-difusión de medios excitables

M.C Alexandra Guzman Velázquez
El Lunes 04 de Junio del 2018
Sala de Profesores AT-348 de 09:30 a 11:00

Resumen:
Las EDPs de reacción-difusión que modelan medios excitables trabajan con dominios circulares en 2D o incluso con formas geométricas muy parecidas al corazón en 3D. Para resolverlas numéricamente se utiliza con frecuencia el método de diferencias finitas. Para la aplicación de éste al caso bidimensional, en un dominio irregular, se utiliza el método de campo de fase, que consiste en redefinir las variables de estudio en un dominio más sencillo, sin cambiar las propiedades del sistema original. Además, se propone una función de fase que manda a cero los valores de las variables de estudio fuera del dominio de interés, ésta depende de un parámetro específico.


Estabilidad asintótica de frentes de onda de tráfico vehicular

Dr. Joaquín Delgado
El Lunes 28 de Mayo del 2018
Sala de profesores. AT-346 de 10:30 a 11:00

Resumen:
Las ecuaciones de tráfico vehicular en coordenadas lagrangianas se reducen a las de un gas compresible isentrópico 1-dimensional viscoso con relajación. Se conocen resultados de existencia local y bajo estimaciones a priori, de existencia global. Este es el primer aspecto a resolver para preguntarse por la estabilidad de cierto tipo de soluciones en forma de onda viajera, tales como frentes o pulsos. Este tipo de soluciones es importante debido a que en el caso no viscoso, la solución puede verse como una interacción de frentes soluciones al problema de Riemman en el esquema de aproximación de Glimm. En el caso viscoso los bloques básicos son ondas viajeras viscosas generales [Bressan]. En esta charla resumimos las ecuaciones obtenidas y analizamos las condiciones de Rankine-Hogoniot, entropía y subcaracterística en el contexto de tráfico y las comparamos con el sistema estudiado en trabajos previos por [Delgado-Saavedra]. Plantemos las dos estrategias para obtener la estabilidad asintótica de frentes: estabilidad espectral + resultados de estabilidad no lineal [Henry, Zumbrum], y estabilidad no lineal mediante estimaciones de energía. Mostramos la prueba de estabilidad de frentes en el gas insentrópico sin término de relajación [Hoff-Liu; Mei; Kawashima-Matsumura] y de relajación, sin viscosidad [Zhu; Mascia] con el fin de entender mejor las estimaciones en el problema con difusión (lineal) y relajación [Tong Li].


Ondas de choque en un fluido isentrópico

Dr. Joaquín Delgado
El Lunes 21 de Mayo del 2018
Sala de Profesores AT-348 de 09:30 a 11:00

Resumen:
Las ecuaciones estacionarias de un gas insentrópico 1-dimensional en forma conservativa incluyen la conservación de masa, de momento con fuerza viscosa, conservación de energía y balance de calor. La densidad, velocidad, energía específica, entropía y temperatura se denotan por $\rho$, $u$, $e$ $S$, $\theta$, respectivamente, entonces [Courant y Frederichs, 1948, p.134] \begin{eqnarray*} \rho u&=&c_1\\ \rho u^2+p-\mu u_x &=& c_2,\\ \rho u(\frac{1}{2}u^2+e+p/\rho) -\mu u u_x-\lambda \theta _x &=& c_3 \end{eqnarray*} La forma explícita de $e$ y $p$ depende de la ecuación de estado, al igual que los parámetros de viscosidad $\mu$ y de conductividad calorífica $\lambda$. Dos casos importantes son el fluido politrópico y el fluido de Weyl. En la nomenclatura de [Weyl, 1949] estamos interesados estudiar las capas de choque (shock layer) en los que las variables toman valores definidos cuando $x\to\pm\infty$, con una brusca transición entre estos valores límite, con las condiciones de salto $$p_0+b^2 \tau_0=p_1+b^2 \tau_1=b^2a,\quad e_0-b^2 /2(\tau_0-a)^2 = e_1-b^2/2(\tau_1-a)^2$$ Gilbarg [1951] muestra una onda de choque simple de las ecuaciones de Euler es compresible, si y sólo si la capa de choque de las ecuaciones de Navier-Stokes existen, suponiendo entre otras hipótesis que la ecuación de estado es convexa. En el caso no convexo, T.P. Liu introduce una condición de entropía para descartar soluciones no físicas. Para ondas de choque satisfaciendo esta condición de entropía, Liu muestra la existencia de capas de choque puramente viscosas (sin conducción de calor). Descartando la condición de convexidad pero mantiendorestricciones razonables en la ecuación de estado, Pego [1983] exhibe un choque amplitud grande, que satisface la condición de entropía, pero para la cual no existe una capa de choque, si la conducción domina sobre la viscosidad.


Bifurcación de Bautin en un modelo de vigilancia inmune

M.C Eymard Hernández López
El Lunes 19 de Marzo del 2018
Sala de profesores AT-324 de 09:30 a 11:00

Resumen:
En esta charla se presenta un modelo de vigilancia inmune y neoplasia que ya ha sido estudiado por algunos autores como Delisi, Resigno (1977) y recientemente Dan Liu (2009). Este último demuestra la existencia de bifurcaciones sillas nodo y Takens-Bogdanov, además demuestra que no existen bifurcaciones de Takens-Bogdanov degeneradas en el sistema de vigilancia inmune de cinco parámetros. Sin embargo Dan Liu y sus colaboradores no consideran otras bifurcaciones de co-dimensión dos, como la bifurcación de Andronov-Hopf generalizada, también conocida como bifurcación de Bautin. En esta sesión, se presenta las condiciones de existencia de una bifurcación Bautin y su diagrama local de bifurcación. Además se presenta un diagrama de continuación numérica de las curvas de bifurcación en el sistema de vigilancia inmune.


Estabilidad espectral de la ecuación de Burgers

Dra. Patricia Saavedra Barrera
El Lunes 12 de Marzo del 2018
Sala de profesores AT-324 de 09:30 a 11:00

Resumen:
El objetivo de esta plática es presentar en un contexto sencillo, la ecuación de Burgers, las metodologías que se pueden aplicar para estudiar la estabilidad espectral de las EDP hiperbólicas y parabólicas, que admiten soluciones en forma de onda viajera. Este problema es importante porque muchas ecuaciones de reacción difusión, de advección-difusión y sus variantes admiten soluciones en forma de onda viajera. En estos casos nos interesa determinar condiciones para que la solución sea asintóticamente estable. El camino a seguir consiste en transformar el problema, con un cambio de coordenadas, a un problema de EDP en el que las soluciones tipo onda viajera sean soluciones estacionarias de la EDP. Posteriomente, se determina si el operador linealizado alrededor de la onda viajera es espectralmente estable y si los términos no lineales son de orden cuadrático, se puede demostrar que bajo ciertas condiciones, la estabilidad espectral implica la estabilidad asintótica. Probar estabilidad espectral implica determinar el espectro del operador y mostrar que éste, sin contar a $\lambda=0,$ se encuentra siempre del lado izquierdo del plano complejo. A veces es posible demostrarlo con estimaciones de energía, pero en ocasiones hay que determinar explícitamente el espectro esencial y puntual. En particular, para el espectro puntual se calcula la función de Evans que es una generalización del polinomio característico para espacios de dimensión infinita. Los ceros de la función de Evans coinciden con los valores propios del operador. La ecuación de Burgers es una de las pocas ecuaciones para las que se puede calcular en forma analítica a la función de Evans.


Ondas en espiral y teoría de bifurcación equivariante Parte I

Dr. Joaquín Delgado
El Lunes 26 de Febrero del 2018
Sala de profesores AT-324 de 09:30 a 11:00

Resumen:
En esta charla presentaremos un panorama de la teoría de ondas en espiral en el contexto de problemas de bifurcación equivariante. En un trabajo clásico [1994] Barkley y Keverekidis, motivado por las soluciones en espiral obtenidas por Winfree en el sistema de  Fitzhugh-Nagumo, proponen un sistema de EDOs que describen la posición y velocidad de la punta de la espiral. Las  ondas en espiral en la ecuación de FN describen arritmias en el corazón y son más bien típicas en sistemas excitables. El sistema  de B&K es un sistema mínimo de EDOs que admite la simetría E(2) del grupo euclideano en \(R^6\) que presenta una bifurcación con dos pares de valores propios imaginarios puros y uno cero. Veremos cómo esta construcción se formaliza con la noción de acción del grupo E(2) en el espacio de soluciones de una EDP de reacción difusión (RD), y los distintos tipos de soluciones: onda viajera (TW), solución relativamente periódica, (RPS) y onda rotatoria modulada (MRW) se interpretan como equilibrios relativos. Los teoremas de existencia local que usan la propiedad de operador sectorial y generador de semigrupo, permiten usar la reducción por la variedad central en el estudio de bifurcaciones. En un trabajo independiente, Krupa [1990] introduce la idea de haz central (center bundle) en un sistema dinámico con simetría y analiza la bifurcación del campo transversal a la órbita del grupo , en el caso de que el grupo de simetrías sea compacto. Krupa prueba la existencia de soluciones que bifurcan en soluciones cuasiperiódicas y aplica sus resultados a la ecuación de Kuramoto-Shivasinky y de Bénard. En el caso E(2), el grupo no es compacto y la acción sobre el espacio de soluciones de una EDP de RD no es continua. Presentamos la extensión de Wulff al caso no compacto de E(2) y su estudio de las bifurcaciones de MRW.


Patrones en contenedores finitos en la convección de Rayleigh-Bénard a partir de patrones de la lámina infinita de Chandrasekhar

M. C. Javier Pérez
El Lunes 19 de Febrero del 2018
Sala de profesores AT-324 de 09:30 a 11:00

Resumen:
Mostramos que soluciones a las ecuaciones estacionarias lineales de Boussinesq en un problema de convección de Rayleigh-Bénard en una lámina de fluido de extensión horizontal infinita también son soluciones en un dominio finito, particularmente dichas soluciones hacen que el campo vectorial forme patrones hexagonales, cuadrados o en forma de rollos.


Continuación numérica de órbitas homoclinicas cerca de puntos Takens-Bogdanov

M.C. Eymard Hernandez
El Lunes 12 de Febrero del 2018
Sala de profesores AT-324 de 09:30 a 11:00

Resumen:
Esta charla se enfocará en el uso del software Matcont, para la inicialización y continuación numérica de órbitas homoclínicas que comienzan en un punto Bogdanov-Takens genérico, sobre un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias autónomas que dependen de dos parámetros \[\dot{x}=f(x,\alpha), \quad x \in R^{n},\alpha \in R^2.\] Se presentarán algunos ejemplos de la literatura y además, la continuación numérica en un modelo avascular de respuesta inmune de un tumor esférico.


Fase de Berry y fase dinámica para tres y cuatro vórtices puntuales

Dr. Antonio Hernández
El Lunes 22 de Enero del 2018
Sala de profesores AT-324 de 09:30 a 11:00

Resumen:
La fase de Berry aparece en sistemas mecánicos cuánticos y clásicos como una fase relativa dada en términos de la holonomía de una conexión sobre un haz fibrado, por lo que el fenómeno también se conoce como “fase geométrica”. Aparte de ésta, otra “fase dinámica” juega un papel importante en la descripción de sistemas mecánicos con simetría. Discutiremos la obtención de fórmulas para la fase geométrica y dinámica en los problemas de 3 y 4 vórtices puntuales en el plano. Identificamos, en el caso de tres vórtices, un parámetro cuyo valor crítico separa las dinámicas compacta y no-compacta. Si el tiempo lo permite, discutiremos brevemente la relevancia de un concepto relacionado, el de “grupo de monodromía”, en otro sistema mecánico, a saber el péndulo esférico, cuyo carácter no-trival está asociado a la existencia de un punto crítico en el mapeo de energía momento. (En colaboración con B. Shashikanth, NMSU.)


Sobre un modelo de competencia de reacción difusión con tres parámetros debido debido a Bazykin

Ivonne Hernández y Daniel Espinosa
El Lunes 15 de Enero del 2018
Sala de profesores AT-324. de 09:00 a 11:00

Resumen:
Nuestro propósito es estudiar el modelo de competencia con tres parámetros propuesto por Bazykin que incluye reproducción no lineal del depredador, competencia de presas y difusión espacial \begin{align} u’ &= D_1 \Delta u +u- u v-\epsilon u^2\\ v’ &= D_2 \Delta v -\gamma v + \frac{u v^2}{n+v}. \end{align} Primero presentamos los diagramas de bifurcación de las curvas silla—nodo y de Hopf en el espacio de parámetros \(n-\epsilon\) para diversos valores de \(\gamma\). El sistema presenta bifurcaciones de Takens-Bogdanov y de Bautin. Para \(\gamma=4/3\), Bazykin conjeturó que ocurre una bifurcación BT degenerada de codimensión 3, lo cual fue probado por Kuznetsov. Completamos la descripción hecha por Bazykin obteniendo explícitamente las curvas de BT, GH por medio de resultantes y las curvas de homoclínicas mediante MatCont. Para un valor de \(r=D_1/D_2=0.2\) mostramos los patrones que se forman por el mecanismo de inestabilidad de Turing alrededor del punto BT para \(\gamma=1\).


Estabilidad espectral de ondas viajeras en tráfico vehicular

Dra. Patricia Saavedra.
El Lunes 04 de Diciembre del 2017
Sala de profesores AT-324. de 11:00 a 12:00

Resumen:
Se dará una breve presentación sobre los avances logrados hasta ahora en el proyecto de investigación Estabilidad asintótica de las soluciones del modelo de Kerner-Kornhauser (KK). Estudiar la estabilidad asintótica de soluciones en forma de onda viajera es un problema que ha sido de interés para los matemáticos desde el trabajo seminal de J.W. Evans La estabilidad de las soluciones del potencial de acción nerviosa publicado en 1970. La metodología propuesta por Evans se ha ido adaptando para probar resultados similares en ecuaciones no lineales que contienen, además de un t´ermino difusivo, términos de advección o de relajación como es el caso de las ecuaciones de Kerner-Kornhauser para tráfico vehicular. Una de las formas para probar estabilidad asint´otica de soluciones requiere como primer paso realizar un cambio de variable de la forma (xi= x+ v_g t) que haga que las soluciones en forma de onda viajera se conviertan en soluciones estacionarias de la EDP. Posteriormente, se analiza el espectro del operador linealizado alrededor de estas soluciones. Bajo ciertas condiciones, estabilidad espectral implica estabilidad asintótica, siempre que el término no lineal sea de orden cuadrático. Se presentarán los resultados obtenidos hasta ahora en el caso de las soluciones homogéneas y en forma de pulso del modelo KK.


Ondas en espiral en el tejido cardiaco

M.C. Alexandra Guzmán Velazquez
El Lunes 27 de Noviembre del 2017
Sala de profesores AT-324. de 11:00 a 12:00

Resumen:
Algunas anomalías en el corazón tales como las fibrilaciones se explican por ondas en forma de espiral en sistemas excitables. Presentamos el modelo de Fitzhugh-Nagumo y el modelo propuesto por Barkley y Keverkedis de un sistema de 5 ecuaciones diferenciales ordinarias que describen la dinámica de la punta de la espiral. Estas ecuaciones tienen los elementos mínimos observados en las simulaciones numéricas de Winfree, tales como simetría bajo el grupo euclideano y la presencia de 4 valores propios sobre el eje imaginario y un valor propio cero. Gracias a los trabajos de Wulf, Sansteade, Golubitsky entre otros estas ecuaciones se interpretan como un proceso de reducción por el método de Lyapunov-Schmidt o de la variedad central en el caso de ondas rotatorias, o como una reducción por el haz central en el caso de ondas meandrantes.


Bifurcación de equilibrios relativos con isotropía en un modelo molecular triatómico

Dr. Antonio Hernández Garduño
El Lunes 13 de Noviembre del 2017
Sala de profesores AT-324 de 11:00 a 12:00

Resumen:
La construcción de vecindades tubulares que preservan la estructura simpléctica para acciones hamiltonianas de grupos de Lie facilita el estudio de ramas bifurcantes de equilibrios relativos cerca de estados con isotropía no-trivial En esta charla discutiremos cómo las llamadas “bundle equations” permiten estudiar de manera sistemática el problema de bifurcación de equilibrios relativos en una molécula tipo $ X_2 Y $. En este problema se aprovecha la estructura de haz cotangente del espacio fase. (Trabajo conjunto con Miguel Rodríguez-Olmos y Cristina Stoica).


Bifurcaciones de Takens-Bogdanov en modelos depredador-presa

Dra. Lucía Ivonne Hernández. UACM Plantel San Lorenzo Tezonco.
El Lunes 06 de Noviembre del 2017
Sala de profesores AT-324. de 11:00 a 12:00

Resumen:
En esta sesión estudiaremos un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias a tres parámetros asociado a un modelo depredador-presa propuesto por Bazykin. Daremos la descripción general del diagrama de bifurcación del sistema en términos de los parámetros. Mostraremos como en este modelo el conjunto de bifurcaciones BT yace en una curva en el espacio tridimensional de parámetros. Este modelo presenta particular interés debido a que para ciertos valores de los parámetros aparece una bifurcación Takens-Bogdanov degenerada de codimensión tres. Además para un modelo a cuatro parámetros vemos cómo aparecen las bifurcaciones TB para ciertos casos de los parámetros.


Funciones dominantes en la convección de Rayleigh-Bénard

M.C. Javier Pérez López
El Lunes 30 de Octubre del 2017
Sala de profesores AT-324. de 11:00 a 12:00

Resumen:
Consideramos fluido viscoso calentado por debajo, contenido en recipientes paralelepipédicos de base cuadrada y con diferentes razones altura- base. Usamos las ecuaciones de la aproximación de Boussinesq, y el método de Galerkin para determinar linealmente la primera bifurcación a partir de un estado estacionario. El método de Galerkin aproxima la solución de la ecuación de Boussinesq con una combinación lineal de funciones base. Mostramos que algunas funciones base, las cuales llamamos funciones dominantes, son las que delinean los perfiles de velocidad y temperatura de la solución.


Bifurcaciones en el problema de masas fluidas en rotación. Lu 23 oct 11:00 hs.

Dr. Adolfo Escalona Buendía
El Lunes 23 de Octubre del 2017
Sala de profesores AT-324. de 11:00 a 12:00

Resumen:
Presentamos un análisis de las soluciones conocidas del problema de masas fluidas incompresibles en rotación en equilibrio hidrostático, desde el punto de vista de la teoría de bifurcaciones. Cada una de estas soluciones: esferoides, elipsoides y "forma de pera"; es invariante bajo un grupo de simetría, el cual es un subgrupo del grupo de simetrías de la solución de la cual bifurca. Se analiza la posibilidad de encontrar nuevas soluciones con base en el estudio de sus grupos de simetría.


La función de Evans I. Lunes 18 de septiembre 11:00 hs.

Joaquin Delgado
El Lunes 18 de Septiembre del 2017
Sala de profesores. AT-324 de 11:00 a 12:00

Resumen:
El 20 de agosto de 2017, falleció John W. Evans. Profesor emérito UCSD. Sus investigaciones incluyen la ecuaciones del axón, intercambio pulmonar entre otros. Su estudio de la estabilidad de ondas viajeras inició lo que hoy se conoce com la teoría de Evans, que marca un puente importante entre la teoría de las ecuaciones diferenciales, el análisis funcional y las EDPs de evolución. En estas dos charlas introducimos los elementos básicos de esta teoría. Operadores de Fredholm, espectro puntual, esencial y la resolvente. La función de Evans que permite caracterizar el espectro puntual, como ceros de una función analítica.


Análisis de un modelo avascular de respuesta inmune a un tumor esférico. 11 de septiembre 11:00 hs.

M.C. Eymard Hernández López
El Lunes 11 de Septiembre del 2017
Sala de profesores AT-324. de 11:00 a 12:00

Resumen:
Las interacciones entre el sistema inmune y células cancerosas son importantes en el desarrollo del crecimiento tumoral. Investigaciones demuestran que el diez por ciento de pacientes quienes tienen enfermedades de inmunodeficiencia pueden desarrollar cáncer. En esta charla se presenta un modelo determinista depredador-presa que describe la dinámica de un tumor sólido en presencia de una población de linfocitos.


Ecuacion de Fitzhugh-Nagumo

M.C Alexandra Guzman Velazque
El Lunes 17 de Julio del 2017
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
Revisar la dinámica de las ecuaciones de FitzHugh-Nagumo, primero bajo la premisa de fijación de voltaje, es decir, cuando las variables de estado del sistema dependen sólo de la variable temporal. En este caso, se modifican los valores de los parámetros y específicamente de la corriente aplicada para mostrar -desde la matemática- las propiedades de un medio excitable. Una vez visto esto, se expondrá el modelo espacio-temporal que consiste de dos ecuaciones diferenciales parciales, una para el potencial y otra para la variable de recuperación. Sin embargo, para probar la existencia de soluciones del tipo onda viajera, el modelo inicial se transforma en un sistema autónomo de tres ecuaciones diferenciales ordinarias y se encuentra que la trayectoria del sistema consistente con la propagación del impulso es homoclínica.


La Bifurcación de Takens-Bogdanov degenerada. Lunes 3 de julio, 10:00 hs

Dra. Lucía Ivonne Hernández
El Lunes 03 de Julio del 2017
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
La bifurcación TBD de codimensión 3 ha sido estudiada con detalle por diversos autores como Kuznetsov, Bazykin, Dumortier, entre otros. En esta sesión presentaremos algunos de las formas normales estudiadas por tales autores, asociadas a ciertos casos donde esta bifurcación tiene lugar; así como algunos ejemplos de EDOs donde esta bifurcación ocurre.


Estabilidad de ondas viajeras. Lunes 26 de junio 10:00-11:00 hs.

Joaquín Delgado
El Lunes 26 de Junio del 2017
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
El estudio de la estabilidad de ondas viajeras (pulsos, frentes) en una EDP $u_t=Lu+N(u)$ comienza por determinar el espectro de la linealización $L$ alrededor de la solución. En muchos casos de interés $L$ es un operador de Fredholm. En tal caso conviene separar el espectro en el espectro esencial, absoluto y puntual. El espectro esencial se determina por los operadores asintóticos de coeficientes constantes cuando $\xi\to\pm\infty$; el espectro puntual se determina por los ceros de una función analítica, la función de Evans. El espectro absoluto, define una región natural, donde la función de Evans se puede extender analíticamente, lo cual en ciertos casos debe hacerse. En el caso de ecuaciones escalares, la teoría de Sturm-Liouville en dominios no acotados permite, en algunos casos, determinar raíces positivas que impliquen inestabilidad espectral. Veremos alguna ejemplos de ecuaciones de reacción difusión, donde la onda viajera se conoce explícitamente.


Bifurcaciones en el problema de masas fluidas en rotación. Lunes 19 de junio, 10:00-11:00 hs

Dr. Adolfo Escalona Buendía
El Lunes 19 de Junio del 2017
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
Se presenta un análisis de las soluciones más conocidas del problema de masas fluidas incompresibles en rotación en equilibrio hidrostático, desde el punto de vista de la teoría de bifurcaciones. Cada una de estas soluciones: esferoides, elipsoides y "formas de pera", es invariante bajo un grupo de simetría, el cual es un subgrupo del grupo de simetrías de la solución de la cual bifurca. Se analiza la posibilidad de encontrar nuevas soluciones con base en el estudio de los grupos de simetría de los armónicos elipsoidales, para el caso particular de los elipsoides de revolución.


Estabilidad de ondas viajeras y la función de Evans

Joaquín Delgado
El Lunes 12 de Junio del 2017
Salón de Seminarios AT-318. Lunes 12 de junio. 10:00-11:00 hs. de 10:00 a 11:00

Resumen:
La exposición está dividida en dos partes. En la primera veremos que el estudio de la estabilidad (veremos en qué sentido) de ondas viajeras (pulsos, frentes) en una EDP $u_t=Lu+N(u)$ comienza por determinar el espectro de la linealización $L$ alrededor de la solución. En muchos casos de interés $L$ es un operador de Fredholm. En tal caso conviene separar el espectro en el espectro esencial, absoluto y puntual. El espectro esencial se determina por los operadores asintóticos de coeficientes constantes cuando $\xi\to\pm\infty$; el espectro puntual se determina por los ceros de una función analítica, la función de Evans. El espectro absoluto, define una región natural, donde la función de Evans se puede extender analíticamente, lo cual en ciertos casos debe hacerse. En el caso de ecuaciones escalares, la teoría de Sturm-Liouville en dominios no acotados permite, en algunos casos, determinar raíces positivas que impliquen inestabilidad espectral. Veremos alguna ejemplos de ecuaciones de reacción difusión, donde la onda viajera se conoce explícitamente. En la segunda parte mostraremos que en el caso de ecuaciones de reacción-difusión, la linealización define, bajo ciertas hipótesis, un operador sectorial, lo cual permite probar que la estabilidad espectral implica la estabilidad no lineal. Otros casos importantes son cuando la EDP define un semigrupo continuo a un parámetro y se satisfacen ciertas estimaciones de la resolvente. En el caso de tráfico vehicular. Se sabe que existen familias de onda viajeras en forma de pulsos (homoclínicas), el reto es calcular numéricamente la función de Evans paralelamente a la resolución de la homoclínica que define el pulso. Mostraremos los avances en este problema


Simetrías y bifurcaciones en un problema de convección de Rayleigh-Bénard (Parte II)

Javier Pérez López
El Lunes 05 de Junio del 2017
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
En el análisis de estados estacionarios de algunos problemas de EDPs con simetrías es posible obtener información del inicio de convección con una ecuación de una sola variable, tal como el caso que aquí presentamos. Utilizamos la teoría de bifurcación equivariante en un problema de convección de Rayleigh-Bénard en recipientes paralelepédicos de base cuadrada, resultados numéricos sugieren que el inicio de bifurcación es del tipo pitchfork, en esta charla damos una justificación analítica de este comportamiento usando las simetrías del problema.


Simetrías y bifurcaciones en un problema de convección de Rayleigh-Bénard

Javier Pérez López
El Lunes 29 de Mayo del 2017
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
En el análisis de estados estacionarios de algunos problemas de EDPs con simetrías es posible obtener información del inicio de convección con una ecuación de una sola variable, tal como el caso que aquí presentamos. Utilizamos la teoría de bifurcación equivariante en un problema de convección de Rayleigh-Bénard en recipientes paralelepédicos de base cuadrada, resultados numéricos sugieren que el inicio de bifurcación es del tipo pitchfork, en esta charla damos una justificación analítica de este comportamiento usando las simetrías del problema.


Aplicación de sistemas dinámicos al tráfico vehicular

Dra. Patricia Saavedra
El Lunes 22 de Mayo del 2017
Salón de Seminarios AT-318. de 10:00 a 11:00

Resumen:
En esta plática se presentan resultados sobre la existencia de soluciones tipo onda viajera en las ecuaciones de Kerner-Kornhäuser con condiciones de frontera periódicas. Este es un modelo macroscópico de segundo orden que se obtiene al hacer una analogía entre el tráfico vehicular y el flujo de un fluido viscoso compresible. La formulación matemática consiste de dos ecuaciones en derivadas parciales no lineales acopladas. Hasta ahora no se han obtenido soluciones analíticas. Sin embargo, resultados numéricos muestran la existencia de soluciones tipo onda viajera. Al aplicar el cambio de variable \(\xi = x+ V_g t \), el problema se reduce a resolver un sistema de EDO. El enfoque de sistemas dinámicos, nos pemite probar la existencia de puntos de bifurcación tipo Hopf, Takens-Bogdanov y Takens-Bogdanov degenerado que aseguran la existencia en una vecindad de estos puntos de ciclos límite, de órbitas homoclínicas y heteroclínicas. Bajo ciertas condiciones de conmensurabilidad, estos resultados nos aseguran la existencia de soluciones tipo onda viajera tanto en dominios acotados con condiciones de frontera periódicas como en dominios no acotados con condiciones de frontera acotadas en la EDP. Por último, se mencionarán alguna dificultades.


Bifurcaciones de equilibrios relativos Lagrangianos. Lunes 8 de mayo, AT-318

Dr. Antonio Hernández Garduño
El Lunes 08 de Mayo del 2017
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
Discutiremos la existencia y bifurcación de equilibrios relativos lagrangianos (es decir, no-colineales) que aparecen en una generalización del problema de tres cuerpos. Se asume que uno de ellos es un esferoide tal que su plano ecuatorial coincide con el plano de los tres centros de masa. Describiremos la bifurcación de equilibrios relativos, así como su número y tipo (forma), cuando se varían el parámetro de oblaticidad $J_2$ y la velocidad angular del sistema.


La bifurcación Takens-Bogdanov degenerada. 8:30 hs. sala de profs.

Daniel Espinosa Pérez
El Lunes 27 de Marzo del 2017
Sala de profesores. Departamento de Matemáticas. de 08:30 a 09:30

Resumen:
Se presentan dos modelos de dinámica de poblaciones con dos especies y hasta tres parámetros. En el primero la curva de Hopf presenta una singularidad de cúspide en el punto de intersección de la curva regular de sillas-nodo. En el segundo la curva de sillas nodo presenta una cúspide en el punto de intersección de la curva regular de Hopf. En ambos casos Bazykin conjeturó la existencia de una bifurcación de Hopf degenerada (DTB). En el primero, Kuznetsov, dió una prueba rigurosa calculando la forma normal. El segundo es un problema abierto. Estos ejemplos motivan la conjetura de que la bifurcación DTB aparece genéricamente en sistemas de tres parámetros cuando la proyección de la superficie de puntos de equilibrio sobre un espacio de dos parámetros sufre una catástrofe elemental de tipo cúspide.


Inestabilidad de Turing en el modelo de Gray-Scott. Lunes 6 de marzo 8:30 hs.

Javier Pérez López
El Lunes 06 de Marzo del 2017
Sala de profesores. Departamento de Matemáticas de 08:30 a 09:30

Resumen:
Un punto de equilibrio estable en una EDO puede hacerse inestable ante la presencia de difusión en un sistema de EDPs. Presentamos este mecanismo de inestabilidad debido a Turing en un sistema general de 2 EDPs y en particular las curvas de inestabilidad de Turing en el modelo de Gray-Scott. \begin{eqnarray*} u_t &=& D_1\nabla^2 u - u^2 v +F(1-u),\\ v_t &=& D_2\nabla^2 v + u^2-(F+k) v \end{eqnarray*}


El método de reducción de Lyapunov-Schmidt-I. Lunes 13 de febrero 8:30-9:30 hs.

Dra. Lucia Ivonne Hernández. UACM Plantel Sn. Lorenzo Tezonco
El Lunes 13 de Febrero del 2017
Sala de preofesores. Departamento de Matemáticas. UAM-Iztapalapa de 08:30 a 09:30

Resumen:
La reducción de Lyapunov-Schmid se utiliza para estudiar problemas de bifurcación no lineales en espacios de Banach generales, mediante su reducción a dimensión finita. La hipótesis princial es que la linealización sea un operador de Fredholm de índice 0. Presentamos la teoría básica y las ecuaciones que permiten calcular las derivadas parciales necesarias para determinar el tipo de bifurcación. En la siguiente sesión presentaremos un ejemplo de aplicación a la birfurcación de Turing del sistema de Gray-Scott.


El mapeo de energía-momento I. Lunes 30 ene. 8:30-9:30 hs.

Dr. Antonio Hernández Garduño
El Lunes 30 de Enero del 2017
Sala de profesores de 08:30 a 09:30

Resumen:
El mapeo de momento se construye como una aplicación J:P -> Lie(G), donde G es un grupo de Lie que actúa por simplectomorfismos en la variedad simpléctica P.La estabilidad de equilibrios relativos se puede estudiar mediante la segunda variación del mapeo de momento. La diagonalización por bloques es una técnica que permite la descomposición del Hessiano según las variaciones tangentes a las órbitas del grupo y a un complemento ortogonal.


Seminario de bifurcaciones. 8:30-9:30 hs. enero 23

varios
El Lunes 23 de Enero del 2017
Sala de profesores. de 08:30 a 09:30

Resumen:
Temario tentativo del seminario bifurcaciones. Trimestre 2017-I. 23 de enero Reunión para organizar temas y expositores. 30 de enero Función energía--momento I. Antonio Hernández 6 de febrero Función energía--momento II. Antonio Hernández 13 de febrero Reducción de Lyapunov-Schmidt I. Ivonne Hernández 20 de febrero Reducción de Lyapunov-Schmidt II. Ivonne Hernández 27 de febrero Teoría de bifurcación equivariante I. Joaquín Delgado 6 de marzo Teoría de bifurcación equivariante II. Joaquín Delgado 13 de marzo Preliminares de Teoría de grupos I. 20 de marzo Preliminares de Teoría de grupos II. 27 de marzo 3 de abril 10 de abril Al término del trimestre tendremos un minicoloquio donde se expondrán los avances de investigación de cada participante del seminario. Fecha por establecer. Referencia Golubistsky,Martin; Stewart,Ian;Schaeffer,David. Singularities and groups in Bifurcation Theory, Vol. II, capíatulos XI, XII,XIII.


Sobre un problema restringido de cuatro cuerpos. Miércoles 30 de nov. 9:30-10:30 hs.

Dr.Jaime Burgos. ITAM.
El Miércoles 30 de Noviembre del 2016
Sala de profesores. Departamento de Matemáticas. de 09:30 a 10:30

Resumen:
El célebre problema de tres cuerpos ha encontrado aplicaciones prácticas a través de algunas de sus versiones restringidas como el considerar un cuerpo lo bastante pequeño de tal manera que no influya en la dinámica de los otros dos cuerpos llamados primarios. Dichos primarios se mueven en soluciones del problema de Kepler y problema radica en estudiar la dinámica del cuerpo pequeño. Una extensión de este enfoque consiste en considerar soluciones conocidas del problema general de tres cuerpos mas una pequeña masa interactuando con este sistema; estos problemas son conocidos como problemas restringidos de cuatro cuerpos. En esta charla presentaré de manera general el problema que estudia la dinámica de una pequeña masa que interactúa con un sistema en configuración equilátera y comentaré sobre sus aplicaciones en el sistema solar.


El método de reducción de Lyapunov-Schmidt. Mie 23, 9:30 hs.

Joaquin Delgado
El Miércoles 23 de Noviembre del 2016
Sala de profesores. Departamento de Matematicas. de 09:30 a 10:30

Resumen:
El método de reducción de Lyapunov-Schmidt permite reducir un problema de bifurcación en dimensión infinita a un problema en dimensión finita, cuando la parte lineal es un operador de Fredholm de índice 0. Presentaremos la construcción de esta reducción, las ecuaciones para el cálculo de las derivadas de bajo orden que permitan determinar la forma normal. Como ejemplo, presentaremos una ecuación de reacción-difusión en una variable y el sistema del Brusselator.


Masas fluidas en rotación. Historia y métodos. Miercoles 9 de noviembre.

Joaquín Delgado
El Miércoles 09 de Noviembre del 2016
Sala de profesores. de 09:30 a 10:30

Resumen:
El problema de masas fluidas en rotación fué planteado originalmente por Newton: "To find the proportion of axis of a planet to thediameters perpendicular thereto"rop XIX, Prob. III. Principia Vol. II. The system of the world. En esta platica expondremos la teoría de los canales de Newton para probar la existencia de formas de esferoide oblato de una masa fluida en rotación sujeta a su propia atracción gravitacional y la fuerza centrífuga. La misma idea permite probar la existencia de formas elipsoidales con tres ejes distintos debida Jacobi. El problema principal consiste en tener una expresión analítica para el potencial de una masa esferoidal y en general para cualquier posible forma de equilibrio. La estabilidad de la forma esférica sin rotación ante perturbaciones arbitrarias fué probada por Lyapunov en su tesis de maestría. La forma esferoidal bifurca a la forma elipsoidal de Jacobi a través de una bifurcación de trinche y posteriormente las formas elipsoidales bifurcan a formas en forma de pera, cuya estabilidad fué estudiada por Poincaré, Lamé, Darwin, entre otros. El problema de las formas de equilibrio en forma toroidal con un núcleo central tiene cierto interés cosmológico en la relatividad general. En la aproximación clásica el problema consiste en estudiar las posibles formas de equilibrio toroidales y su estabilidad. La estabiliad de una posible forma de equilibrio lleva al estudio de análisis armónico (esférico, elipsoidal, toroidal,...). La versión moderna de estas técnicas clásicas es una combinación del método de reducción de Lyapunov-Schmidt, que aplica a problemas de bifuración variacionales definidos por operadores de Fredholm, y el método de descomposición de la función momento de Marsden-Lewis-Simó.


Masas fluidas en rotación. Miercoles 18 de octubre 9:30-10:30 hs.

Dr. Adolfo H. Buendía
El Miércoles 19 de Octubre del 2016
Sala de Profesores. Departamento de Matemáticas. de 09:30 a 10:30

Resumen:
El estudio de la simetría ha sido fundamental en el descubrimiento de las leyes de la naturaleza y sus aplicaciones. Sin embargo, durante su evolución, un sistema dinámico puede pasar de un estado simétrico a un estado menos simétrico, por ejemplo en una transición de fase; en estos casos, la simetría se rompe espontáneamente. Un ejemplo se presenta en la teoría de de masas fluidas auto-gravitantes en rotación, la cual se desarrolló en el contexto de preguntas concernientes a la forma de la Tierra y demás cuerpos celestes. ​En su disertación acerca de la forma de la Tierra en sus Principia Mathematica, Newton demostró que, por efecto de la rotación de la Tierra, ésta debería apartarse de la forma esférica y ser ligeramente oblata. Posteriormente MacLaurin generalizó los resultados de Newton para el caso en el que la desviación de la forma esférica ya no puede considerarse pequeña. Casi un siglo después, C.G.J. Jacobi demostró que, a partir de ciertos valores del momento angular, pueden existir figuras que rompen la simetría axial de los elipsoides de revolución; por ejemplo, elipsoides con tres semiejes desiguales. B. Riemman y R. Dedekind, y posteriormente H. Poincaré encontraron que, para valores aun más altos del momento angular, aparecen nuevas soluciones --con forma de pera-- la cuales rompen con los planos de simetría de los elipsoides de Jacobi. Una recapitulación de la historia de este problema, en un lenguaje matemático moderno, fue escrita por Chandrasekhar en su tratado titulado Ellipsoidal Figures of Equilibrium que es considerado un clásico en el campo de la astrofísica


Digrama global de bifurcación del sistema de EDO asociado al modelo de reacción difusión de Gray-Scott (Mie. 9:30-10:30, AT-318)

Lucía Ivonne Hernández
El Miércoles 05 de Octubre del 2016
AT-318 de 09:30 a 10:30

Resumen:
Una reacción química irreversible entre dos compuestos es modeladaa por el sistema de reacción-difusión de Gray-Scott. Daremos una breve descripción global del diagrama de bifurcación del estado estacionario homogéneo asociado al sistema de EDPs, destacando algunas bifurcaciones especiales que existen para ciertos valores de los parámetros.


Ondas en espiral en el corazón. Jueves 14de julio, 9:30-10:30 hs.

M.C. Alexandra Guzmán
El Jueves 14 de Julio del 2016
Salón de Seminarios AT-318. de 08:30 a 09:30

Resumen:
Presentamos el modelo de EDO de Hodkin-Huxley del membrana celular. Se introducen los conceptos de: potencial de acción, umbral y periodo refractario. Bajo la simplificación en el modelo de variables de compuerta se obtiene el la ecuación de reacción-difusión de Fitzhugh-Nagumo. En el modelo simplificado de Winfree, se propone una onda viajera en una circunferencia que se extiende a un dominio anular dando origen a ondas en espiral, las cuales se han usado para modelar la transmisión de impulsos eléctrico en el tejido del corazón.


Acerca de la ecuación de Gray-Scott

Joaquín Delgado
El Jueves 03 de Marzo del 2016
Salón de Semiarios AT 318 de 08:30 a 09:30

Resumen:


Simetrías y bifurcaciones en un problema de convección de Rayleigh-Bénard (Parte II)

Javier Pérez López
El Miércoles 30 de Noviembre del -0001
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
En el análisis de estados estacionarios de algunos problemas de EDPs con simetrías es posible obtener información del inicio de convección con una ecuación de una sola variable, tal como el caso que aquí presentamos. Utilizamos la teoría de bifurcación equivariante en un problema de convección de Rayleigh-Bénard en recipientes paralelepédicos de base cuadrada, resultados numéricos sugieren que el inicio de bifurcación es del tipo pitchfork, en esta charla damos una justificación analítica de este comportamiento usando las simetrías del problema.


Simetrías y bifurcaciones en un problema de convección de Rayleigh-Bénard (Parte II)

Javier Pérez López
El Miércoles 30 de Noviembre del -0001
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
En el análisis de estados estacionarios de algunos problemas de EDPs con simetrías es posible obtener información del inicio de convección con una ecuación de una sola variable, tal como el caso que aquí presentamos. Utilizamos la teoría de bifurcación equivariante en un problema de convección de Rayleigh-Bénard en recipientes paralelepédicos de base cuadrada, resultados numéricos sugieren que el inicio de bifurcación es del tipo pitchfork, en esta charla damos una justificación analítica de este comportamiento usando las simetrías del problema.


Simetrías y bifurcaciones en un problema de convección de Rayleigh-Bénard (Parte II)

Javier Pérez López
El Miércoles 30 de Noviembre del -0001
Salón de Seminarios AT-318 de 10:00 a 11:00

Resumen:
En el análisis de estados estacionarios de algunos problemas de EDPs con simetrías es posible obtener información del inicio de convección con una ecuación de una sola variable, tal como el caso que aquí presentamos. Utilizamos la teoría de bifurcación equivariante en un problema de convección de Rayleigh-Bénard en recipientes paralelepédicos de base cuadrada, resultados numéricos sugieren que el inicio de bifurcación es del tipo pitchfork, en esta charla damos una justificación analítica de este comportamiento usando las simetrías del problema.


Caos discreto y bifurcaciones

Marco Polo García
El Miércoles 30 de Noviembre del -0001
https://meet.google.com/ijq-mseu-fkr de 09:30 a 10:30

Resumen:
En esta charla daremos algunos ejemplos acerca de caos en el sentido discreto y posteriormente veremos cómo se pueden ligar estos conceptos a un sistema de tipo Rössler para estudiar los tipos de bifurcaciones característicos de este tipo de sistemas.