Análisis Funcional Aplicado

Unidad Iztapalapa División C.B.I.
Nivel Maestría en Ciencias
(Matemáticas Aplicadas e Industriales)
Trimestre I al II
Clave 2137071
Unidad de Enseñanza Aprendizaje Análisis Funcional Aplicado
Obligatoria
Créditos 9
Horas
Teoría:4.5
Práctica:0
Seriación Autorización

 

Objetivos

El contenido del curso se circunscribe a estudiar la teoría de los espacios de Banach, de Hilbert y propiedades de sus operadores. En relación a este contenido, el alumno:

  • Identificará e interpretará los conceptos básicos.
  • Será capaz de entender los contenidos de los teoremas que se enuncien.
  • Será capaz de aplicar los resultados en la prueba de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, así como su aproximación.
  • Será capaz de usar la teoría en problemas de aplicaciones.

 

Contenido sintético 

1. Espacios de Banach y de Hilbert

  1. Conceptos básicos y ejemplos de espacios normados, de Banach y de Hilbert.
  2. Funcionales lineales y espacios duales.
  3. Espacios de Hilbert: subespacios cerrados, proyecciones.
  4. Teorema de Riesz, bases ortonormales.
  5. Convergencia débil.
  6. Teorema de Hahn-Banach y aplicaciones.

2. Operadores

  1. Propiedades básicas de operadores en espacios normados.
  2. Principio de contracción de Banach-Cacciopoli y aplicaciones.
  3. Operadores adjuntos.
  4. Núcleos y rangos de operadores en espacios de Hilbert.
  5. Principio de acotamiento uniforme.
  6. Aplicaciones.
  7. Teoremas del mapeo abierto y de la gráfica cerrada.

3. Temas Optativos. Escoger un tema teórico y uno aplicado de los siguientes:

  1. Temas Teóricos
    • Espacios de Sobolev y soluciones débiles de EDP.
    • Teoría de Sturm-Liouville.
    • Ecuaciones integrales de Fredholm.
    • Optimización en espacios de Hilbert.
  2. Temas Aplicados
  • Introducción a control H2 y .
  • Ondeletas y aplicaciones.
  • Teorema de min-max y teoría de juegos.
  • Aproximación de Galerkin.

 

Modalidades de conducción del proceso de enseñanza-aprendizaje

  • Los temas básicos del curso serán expuestos por el profesor. Los temas optativos serán expuestos por los alumnos ante el grupo.

 

Modalidades de evaluación

  • Al menos dos evaluaciones periódicas y/o una evaluación terminal: 80%. 
  • Tareas y ejercicios: 10%. 
  • Un reporte escrito de los dos temas optativos y exposición oral de alguno de éstos: 10%

 

Bibliografía

  1. Balakrishnan, A.V., Applied Functional Analysis. Springer-Verlag, 1981.
  2. Brézis, H., Análisis Funcional, Teoría y Aplicaciones. Alianza Editorial, 1983.
  3. Conway, J. B., A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Springer Verlag; 2nd. Ed., 1997.
  4. Deimling , K., Applied Functional Analysis. Springer, 1993.
  5. Griffel, D.H. Applied Functional Analysis. Dover Pubs., 2002.
  6. Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons; 1st ed. 1989.
  7. Lebedev, V.I., An introduction to functional analysis and computational mathematics. Birkhauser, 1997.
  8. Lebedev, L. P. , Gladwell, G. M. L., Vorovich, I. I. Functional Analysis: Applications in Mechanics and Inverse Problems (Solid Mechanics and Its Applications, 100). Kluwer Academic Pub. 2nd. ed., 2002.
  9. Moore, R. E., Computational Functional Analysis. J.Wiley & Sons, 1985.
  10. Shilov, G. E., Elementary Functional Analysis. Dover Pubns, 1996.
  11. Zeidler, E., Applied Functional Analysis: Main Principles and Their Applications. Applied Mathematical Monographs Vol. 109, 1995.