Ecuaciones Diferenciales No Lineales

Unidad Iztapalapa División C.B.I.
Nivel Maestría en Ciencias
(Matemáticas Aplicadas e Industriales)
Trimestre I al II
Clave 2137073
Unidad de Enseñanza Aprendizaje Ecuaciones Diferenciales No Lineales
Obligatoria
Créditos 9
Horas
Teoría:4.5
Práctica:0
Seriación Autorización

 

Objetivos

  • El alumno interpretará las propiedades clásicas de prolongación de soluciones, continuidad respecto a parámetros en términos del flujo de una ecuación diferencial.
  • Analizará completamente el retrato fase de un sistema lineal.
  • Usará diversas técnicas básicas del análisis cuantitativo y cualitativo de las ecuaciones diferenciales no lineales para describir el flujo de una ecuación diferencial.
  • Conocerá problemas representativos de ecuaciones diferenciales no lineales y las técnicas para su estudio.

 

Contenido sintético

1. Antecedentes y Resultados Principales

  1. Existencia y unicidad de soluciones.
  2. Prolongación de soluciones y continuidad respecto a parámetros y condiciones iniciales.
  3. El flujo de una ecuación diferencial.
  4. Forma general del sistema lineal x'=Ax en R.
  5. Forma canónica de Jordan y subespacios generalizados.

2. Linealización

  1. La ecuación variacional.
  2. Puntos críticos hiperbólicos: El teorema de Hartman-Grobman y de la variedad estable.
  3. Órbitas periódicas: Teoría de Floquet.
  4. El mapeo de Poincaré.

3. Sistemas No Lineales

  1. Conjuntos invariantes aislados.
  2. Estabilidad de Liapunov.
  3. Criterio de estabilidad de un punto crítico.
  4. Criterio de Hurwitz.
  5. Funciones de Liapunov.
  6. Principio de invariancia de La Salle.

4. Variedad Central

  1. El teorema de la variedad central.
  2. Determinación de la estabilidad mediante el sistema reducido.
  3. Ejemplos de estudio de bifurcaciones mediante la variedad central.

5. Variedades (In) Estables

  1. El teorema de la variedad estable.
  2. Puntos homoclínicos y heteroclínicos.
  3. La herradura de Smale y dinámica simbólica.

6. Temas Optativos

  1. Control y estabilización.
  2. Métodos numérico-simbólicos de cálculo de variedades invariantes.

 

Modalidades de conducción del proceso de enseñanza-aprendizaje

  • Los temas del curso serán expuestos por el profesor. Se recomienda realizar prácticas de laboratorio en un ambiente computacional como Mathematica® o Matlab®. En los temas optativos el alumno combinará las facilidades de cómputo simbólico de éstos ambientes con la elaboración de programas específicos.

 

Modalidades de evaluación

  • Al menos dos evaluaciones periódicas y/o una evaluación terminal: 60%. 
  • Tareas y ejercicios: 20%. 
  • Elaboración de un proyecto en un tema optativo en el que el alumno realice cálculos numérico-simbólicos: 20%.

 

Bibliografía

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