• Completar los conocimientos básicos del cálculo en varias variables como introducción a los temas del análisis.
• La parte de Cálculo Avanzado del curso tendrá un carácter operativo. El alumno deberá ser capaz de enunciar y comprender los teoremas mencionados, así como aplicarlos en ejemplos. Se dará la demostración del teorema de Green en el plano para regiones con fronteras simples, como consecuencia del teorema fundamental del cálculo. La parte de introducción al Análisis Real tendrá un carácter más formal y formativo. El alumno deberá ser capaz de seguir las demostraciones a este nivel. Sabrá mostrar ejemplos y contra ejemplos de los teoremas enunciados.
• Al finalizar el curso el alumno entenderá y aplicará los teoremas fundamentales del cálculo diferencial e integral en varias variables.
• El alumno será capaz de seguir las demostraciones de los teoremas enunciados.
• Será capaz de analizar las propiedades de continuidad y convergencia en Rn.

Contenido sintético

1. Cálculo Avanzado en Varias Variables

1. La derivada de funciones Rn rightarrow Rm. Matriz Jacobiana y regla de la cadena. El teorema de la función implícita y de la función inversa.
2. Sistemas de coordenadas ortogonales y elementos métricos, el elemento de área y de volumen.
3. Integral de línea y de superficie. El vector normal. Los teoremas de Green, Gauss y Stokes.

2. Introducción al Análisis Real

1. Normas equivalentes en Rn. Topología de Rn: Abiertos, cerrados compactos y conexos. Continuidad en compactos y en conexos. Convergencia de sucesiones y compacidad secuencial. Series de potencias.
2. Radio de convergencia. Funciones analíticas.

Modalidades de conducción del proceso de enseñanza-aprendizaje

• Los temas del curso serán expuestos por el profesor. Se insistirá en ejercicios de aplicación, ejemplos y contraejemplos.

Modalidades de evaluación

• Al menos dos evaluaciones periódicas y/o una evaluación terminal: 80%.
• Tareas y ejercicios: 20%.

Bibliografía

1. Abbott, S., Understanding Analysis, Springer Verlag, 1st ed., 2001.
2. Apostol, T. M., Mathematical Analysis: A Modern Approach to Advanced Calculus. 2nd Edition, Addison-Wesley Pub Co., 1974.
3. Bartle, R.G. & Sherbert, D.R., Introduction to Real Analysis. 3rd Edition, John Wiley & Sons, 1999.
4. Courant, R., Differential and Integral Calculus, John Wiley & Sons, 2nd edition, 1988.
5. Courant, R. & John, F., Introduction to Calculus and Analysis, Volume 1 (Classics in Mathematics), Springer Verlag, Reprint edition, 1999.
6. Kaplan, W., Advanced Calculus. 5th Edition, Addison-Wesley Pub. Co., 1991.
7. Marsden, J. & Tromba, A. Cálculo Vectorial. Addison-Wesley Iberoamericana, 1991.
8. Stoll, M., Introduction to Real Analysis, Pearson Addison Wesley; 2nd ed. 2000.